6. Problemas
1- Una empresa se dedica a la producción de pinturas para interiores y exteriores para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B es de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la tabla que sigue:
Toneladas de MP por Disponibilidad
tonelada de pintura máxima en toneladas
Exterior Interior
Materia prima A 1 2 6
Materia prima B 2 1 8
El estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada. Así mismo, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias.
La ganancia por tonelada es de $3000 para la pintura de exteriores y $2000 para la pintura de interiores.
Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la empresa todos los días para maximizar el ingreso bruto?
2- A una empresa se le ha planteado la tarea de cumplir un contrato de explotación de dos productos A y B para el próximo semestre. El contrato estipula que deben ser entregados como mínimo 2000 unidades de ambos productos, siendo al menos 800 de B. Los precios de venta son de 50 y 80 pesos por unidad para A y B respectivamente. La empresa cuenta con 3 establecimientos que pueden acometer esa tarea disponiendo los mismos de 550, 800 y 930 horas de tiempo productivo en el semestre respectivamente.
El tiempo de producción que toma cada producto, en horas, para cada establecimiento, así como el costo por hora de producción de cada uno, se dan en la tabla siguiente:
Productos
Establecimientos A B Costo/hora(pesos/h)
1 0,9 1,3 25
2 1,2 - 20
3 1,0 1,5 22
Para balancear el uso de la fuerza laboral, se desea por la empresa que el % de capacidad productiva utilizada en los tres establecimientos sea la misma.
Por otra parte para el terminado de los productos se utiliza una materia prima de importación de las que disponen 3000 unidades, siendo la norma unitaria de consumo de una unidad para A y 2 para B.
Plantee el modelo matemático que permita conocer la forma más provechosa de cumplir el contrato.
3- Existen dos centrales cerca de la bahía de Nipe: el Nicaragua y el Rafael Freire, para los cuales se plantea revincular sus dos zonas cañeras de modo que se minimicen los costos de producción de azúcar (incluyendo los costos de transportación de caña).
El costo de producción por arroba de azúcar para cada caso se muestra a continuación:
Zona Nicaragua Rafael Freire
I 1,25 1,30
II 1,80 1,60
El central Nicaragua debe moler entre un mínimo de 20 millones de arrobas de caña y un máximo de 30 millones de caña; y el Rafael Freire entre 15 y 25 millones de arrobas de caña.
Las zonas cañeras a distribuir son dos: la Zona I con una producción de caña estimada en 20 millones de arrobas, y la zona II con 15 millones de arrobas. No debe quedar caña sin cortar.
En la tabla siguiente se muestran los factores de conversión de arrobas de caña necesarias para producir una arroba de azúcar los cuales varían en cada central y por zona cañera:
Zona Nicaragua R. Freire
I 8,35 9,10
II 8,00 7,70
La meta de producción para los dos centrales en conjunto es por lo menos de 57500 arrobas de azúcar. Todos los datos del problema corresponden a una zafra.
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4- Una empresa tiene 2 talleres A y B. En ambos se producen los productos tipo 1 y tipo2 en base a las materias primas M y N. La empresa dispone diariamente de 10 t de M y 4t de N.
El consumo de M y N por cada producto en cada taller es el siguiente en Kg:
Taller 1 Taller 2
M N M N
Producto 1 0,7 0,3 Producto 1 0,6 0,4
Producto 2 0,8 0,2 Producto 2 0,9 0,1
La capacidad de producción del Taller 1 es de 4000 productos 1 o 6000 productos 2 o la combinación de ambos. El taller 2 puede producir 5000 productos 1 o 7000 productos 2 o la combinación de ambos.
Deben producirse al menos 4000 productos 1 y la cantidad de productos 2 que se produzcan en ambos talleres debe ser la misma.
El costo de producción del producto 1 en el taller 1 es de $0,60 y del producto 2, $0,80 El del taller 2 son un 20% mayores.
Si las capacidades de producción deben aprovecharse como mínimo a un 90% y a un 85% en cada taller. Plantee el modelo matemático que minimice los costos de la empresa.
5- En el combinado del vidrio de la Lisa se producirán en el próximo período 2 modelos de jarrones, uno de cenicero y 2 modelos de vasos de cristal para el consumo nacional.
En la obtención de estos productos se combinan dos materias primas (P y Q), siendo el consumo en Kg para cada producto y el costo de producción los que se muestra en la tabla a continuación:
Jarrones Cenicero Vasos de Cristal
1 2 1 2
P 0,03 0,63 0,07 - -
Q 0,09 0,11 0,05 0,01 0,04
Costo 2 3 1 0,5 1
($/u)
La materia prima Q es de importación y solo se dispone de 820 Kg en el período y de la materia prima P se recibirán 560 Kg. Todos los productos pasan por tres procesos: horneado, acabado y envasado de la producción.
En el Dpto de horneado pueden colocarse en un horno 200 jarrones o 350 ceniceros o 400 vasos o una combinación factible( este Dpto cuenta con 4 hornos de este tipo en el período)
En el Dpto de acabado se le da un tratamiento especial a los modelos de tipo 2 de jarrones y vasos de cristal, pudiendo atenderse 10 y 20 jarrones y vasos por hora respectivamente.
En el Dpto de envasado se invierten 3, 2 y 3 minutos en el embalaje de los jarrones, ceniceros y vasos respectivamente.
Se espera que para el período analizado se contará con un fondo de tiempo de 280 horas para cada uno de estos Departamentos.
Por las características de la demanda se desea que la cantidad de vasos producidos sea al menos el doble de la de jarrones y que por cada jarrón del modelo tipo 1 se produzca un cenicero.
Plantee el modelo matemático que permita obtener la planificación óptima de la producción
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6- La empresa confitera Habana se dedica a la elaboración de un amplio surtido de caramelos y bombones, considerándose que existen cuatro grupos fundamentales de estos productos, los cuales son:
Grupo Precio de venta($/Kg)
1 Caramelos especiales 1,37
2 Caramelos normales 1,23
3 Bombones surtido 5,00
4 Bombones especiales 6,00
La materia prima fundamental de los grupos 1 y2 es azúcar refino, colorante y saborizante y de los grupos 3 y 4, azúcar refino, cocoa, altea y licores.
Los caramelos pueden ser de tres sabores diferentes y los bombones especiales pueden ser elaborados con dos tipos de licor.
En la tabla siguiente se muestra el insumo( Kg de mat prima/ Kg de producto), disponibilidades y costo total.
M. PRIMA GRUPO DE PRODUCTOS DISPON(T) COSTO($)
1 2 3 4
azúcar refino 0,7 0,6 0,5 0,35 60 18000
colorante 0,2 0,2 - - 2 800
saborizante 1 0,1 0,2 - - 5 500
saborizante 2 0,1 0,2 - - 5 600
saborizante 3 0,1 0,2 - - 4 400
cocoa - - 0,3 0,5 45 27000
altea - - 0,2 0,05 5 700
licores 1 - - - 0,1 4 1200
licores 2 - - - 0,1 3 900
En la producción intervienen 2 grupos de obreros calificados cuyas productividades son:
OBREROS PRODUCTIVIDAD(T/H) por SALARIO POR HORA
grupo de producto
1 2 3 4
Obrero A 0,04 0,04 0,05 0,04 0,90
Obrero B 0,015 0,03 0,02 0,04 0,80
Se dispone de 40 obreros de calificación A y 60 de calificación B, los cuales laborarán 24 días al mes durante 8 horas cada día. No existen restricciones en cuanto al fondo de tiempo productivo disponible de sus máquinas. Plantee el modelo matemático que maximice la ganancia.
7. Formular el siguiente problema como un PL, y resolverlo con Excel: La empresa Anuncios S.A. quiere planificar una campaña de anuncios en tres medios diferentes: TV, radio y prensa. El objetivo de la campaña es llegar a tantos clientes potenciales como sea posible. Los resultados de un estudio de mercado han sido los siguientes:
TV-mañana | TV-tarde | radio | prensa | |
Coste/anuncio | 40 | 75 | 30 | 15 |
Clientes pot./anuncio | 400.000 | 900.000 | 500.000 | 200.000 |
Clientes pot. (mujeres)/anuncio | 300.000 | 400.000 | 200.000 | 100.000 |
La empresa no quiere gastar más de 800 u.m. (unidades monetarias) en anuncios. Además, quiere que (1) al menos dos millones de mujeres sean expuestas a los anuncios; (2) el gasto de anuncios por televisión ha de ser a lo sumo 500 u.m. ; (3) al menos se han de contratar 3 anuncios en TV-mañana y 2 en TV-tarde; y (4) el número de anuncios en radio y prensa debe estar, cada uno, entre 5 y 10.
8. Formular el siguiente problema como un PL, y resolverlo con Excel: Una granja de tomates cosecha 5.000 kgs de tomates de clase A y 10.000 kgs de tomates de clase B, a partir de los cuales ha de producir tomates enteros en lata y salsa de tomate. Los tomates en lata se han de preparar al menos con un 80 % de tomates de clase A, mientras que la pasta de tomate se ha de preparar con al menos un 10 % de tomates de clase A. Los tomates en lata se venden a 8 u.m. (unidades monetarias) por kg y la salsa de tomate se vende a 5 u.m./kg. Cuánto debe fabricarse de cada producto para maximizar los beneficios?
9. Algunos problemas de optimización no-lineal (por ejemplo, la función objetivo es no-lineal) se pueden resolver como programas lineales mediante una reformulación apropiada. Reformula los siguientes problemas de optimización no-lineal como problemas de programación lineal:
(a) Nota: |x| denota el valor absoluto de x.
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