Solución Gráfica de Modelos Lineales con dos Variables.

            Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las desigualdades dadas por el problema, después encontrar el Área de Soluciones Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución del problema.

                               

Ejemplo: Problema de mezcla de productos.

Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas.

Paso 1: formulación del problema.

El primer paso para resolver el problema es expresarlo en términos matemáticos en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo:

Maximizar   Z = 5x₁ + 5x₂

en donde:        x₁ = número de mesas producidas

                        x₂ = número de sillas producidas

¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces:

12x₁ + 8x₂£ 96

La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6 horas, una silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas. Así:

6x₁ + 12x₂£ 72

Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por lo menos dos mesas. Esto puede expresarse como:

x₁³ 2

Por último, las restricciones de no negatividad son:

x₁³ 0,  x₂³ 0

Poniendo todo junto el modelo se tiene:

                                               Maximizar    Z = 5x₁ + 5x₂

                                               Restricciones: 12x₁ + 8x₂£ 96

                                                                       6x₁ + 12x₂£ 72

                                                                       x₁³ 2

                                                                       x₁³ 0,  x₂³ 0

Paso 2: gráfica de las restricciones.

El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las restricciones en una gráfica. Esto puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comenzará con las restricciones de no negatividad. Éstas se muestran en la siguiente figura:

En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas x₁ (mesas) y x₂ (sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada artículo que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región Factible puesto que es el único cuadrante en que pueden estar las soluciones. Los otros tres cuadrantes no son factibles, ya que requerirían la producción de cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas.

La siguiente restricción es  x₁³ 2. La manera más sencilla de dibujar las restricciones de recursos es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en una ecuación y graficar la ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y abajo de la línea que resulta en el paso 1. Convertir una igualdad en una ecuación aquí significa ignorar la parte de “mayor que” o “menor que” de la restricción.

Así, en el ejemplo, x₁³ 2 se convierte en x₁ = 2. Esta ecuación está trazada en la siguiente figura:

Cualquier punto en la línea x₁ = 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la restricción es más amplia, ya que cualquier punto x₁> 2 también la cumplirá. Esto incluye todos los puntos que están a la derecha de la línea x₁ = 2. Entonces, la región factible incluye todos los valores de x₁que están sobre o a la derecha de la línea x₁ = 2.

La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como antes, primero se convierte en una ecuación: 6x₁ + 12x₂ = 72. Puede graficarse esta línea si se encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más sencillos de localizar son las intersecciones con los ejes X₁ y X₂. Para encontrar la intersección con el eje X₂ se hace x₁ = 0. La ecuación se reduce, entonces, a:

12x₂ = 72

    x₂ =   6

La intersección con el eje X₁ se encuentra haciendo x₂ = 0. Así:

6x₁ = 72

  x₁ = 12

Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:

Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción. Cualquier punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y no es aceptable. En la siguiente figura se combina esta restricción con la anterior. En la región factible, ambas restricciones se cumplen.

La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior, primero se encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x₁ = 0, x₂ = 12 y x₁ = 8, x₂ =0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea, y como la restricción es del tipo menor o igual que, se sombrea el área que está abajo de la línea. El resultado se muestra en la siguiente figura:

Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada cumplirá con todas las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para seleccionar la solución óptima.

Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.

Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x₁ + 5x₂. Como todavía no se conoce el máximo valor factible de Z, no puede trazarse el óptimo de la función objetivo. No obstante, es posible suponer algunos valores para Z y graficar las líneas resultantes. En la siguiente figura se muestran las líneas para Z = 25 yZ = 50:

Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto sobre una línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Z. También, todas las líneas de indiferencia son paralelas entre sí. Estas propiedades gráficas pueden usarse para resolver el problema.

En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de indiferencia supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de indiferencia para Z = 50 está completamente fuera de la región factible. Para Z = 25, parte de la línea cae dentro de la región factible. Por tanto, existe alguna combinación de x₁ y x₂ que satisface todas las restricciones y da una ganancia total de $25. Por inspección, puede observarse que hay ganancias más altas que son factibles.

Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50, de las propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes, el punto óptimo estará sobre la línea de indiferencia más lejana al origen pero que todavía toque la región factible. Esto se muestra en la siguiente figura:

Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la intersección de las líneas de restricción para materiales y horas de mano de obra. Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación). Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en la función objetivo da la ganancia máxima:

Z = 5(6) + 5(3) = $45

Resumen del método gráfico.

Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:

1.   Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones.

2.   Grafíquese cada restricción.

3.   Localícese la solución óptima.